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Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Definición de sucesión. Comportamiento. Sucesiones acotadas. Sucesiones convergentes y oscilantes. Límite superior e inferior de una sucesión. Unicidad del límite. Propiedades. Sucesiones divergentes. Operaciones. Casos de indeterminación. Definición del número e.
Definición. Propiedades. Álgebra de límites. Continuidad de una función. Límites laterales. Tipos de discontinuidad de una función. Infinitésimos e infinitos. Límites notables. Asíntotas.
Definición. La derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Derivadas laterales. Función derivada. Relación entre la continuidad y la derivabilidad. Cálculo por definición de las derivadas de las funciones: lnx , senx,etc. Reglas de derivación. Diferenciación de funciones en forma paramétrica
Definición de diferencial, fórmula de cálculo e interpretación geométrica, aplicaciones. Recta tangente a una curva, recta normal. Ángulo entre curvas. Funciones continuas sobre intervalos cerrados. Teorema del valor medio Rolle. Lagrange y Cauchy.. Crecimiento y decrecimiento de funciones. Máximos y mínimos relativos. Fórmulas de Mac Laurin y Taylor. Concavidad hacia arriba y hacia abajo. Puntos de inflexión.
Definición. Propiedades. Métodos de cálculo: descomposición, sustitución y por partes. Descomposición en fracciones simples. Sustituciones especiales. Uso de tablas.
Definición. Convergencia de series. Serie geométrica . Serie de términos positivos. Criterios de comparación: D ́Alambert y Cauchy. Serie armónica generalizada. Convergencia absoluta y condicional. Criterio de Leibniz para series alternadas. Serie de Potencias. Teorema de LHospital. Series de Mac Laurin y Taylor.
Nociones de lógica. Proposiciones. Conectivos lógicos y notaciones. Operaciones lógicas. Tablas de verdad. Condiciones necesarias y condiciones suficientes. Leyes lógicas. Demostraciones. Regla de inferencia. Equivalencia lógica. Razonamientos deductivos válidos. Aplicaciones a la Matemática: métodos de demostración de implicaciones. Método de demostración de equivalencias. Funciones proposicionales de una o más variables. Cuantificadores: universal y existencial. Negación de funciones proposicionales cuantificadas. Inducción.
El conjunto C de los números complejos. Definición axiomática. El plano complejo: representación puntual y vectorial de los números complejos. Forma binómica. Operaciones. Conjugados y sus propiedades. Distancia en el plano complejo. Potencias de base compleja y exponente entero. Potencias de la unidad imaginaria. Binomio de Newton. Cálculo de raíces cuadradas en forma binómica. Insuficiencia de la forma binómica para el cálculo de raíces enésimas. Argumento de un complejo. Forma polar y forma trigonométrica. La notación de Euler y la notación “cis”. Igualdad en forma polar. Multiplicación y división en forma polar. Fórmula de De Moivre. Propiedad del argumento de la potencia. Representación gráfica de las raíces enésimas.
Análisis combinatorio simple y con repetición. Variaciones, combinaciones y permutaciones simples y con repetición. Definiciones y fórmulas correspondientes. Permutaciones con grupos de elementos iguales. Resolución de problemas. Número combinatorio. Definición y propiedades. Triángulo de Tartaglia ( o de Pascal). Fórmula del Binomio de Newton. Su demostración por inducción.
Definición de polinomio con coeficientes en un cuerpo K. Igualdad y grado. Operaciones en K[x]. Caracterización de K[x]como anillo conmutativo. Divisibilidad en K[x]. Polinomios primos. Polinomios primos entre sí. Especialización. Regla de Ruffini y teorema del Resto. Raíces simples y múltiples: definición. Descomposición de un polinomio en factores. Raíces irracionales de los polinomios de coeficientes racionales. Teorema de Gauss. Fórmulas de Vieta. Cálculo de las raíces de un polinomio de segundo grado en C[x] en forma binómica.
Matriz sobre un cuerpo K. Matrices cuadradas, rectangulares. Igualdad. Matriz nula. Operaciones: suma resta y producto por un escalar. Multiplicación entre matrices. Multiplicación en K nxn. Matriz inversible. Caracterización de Knxn como anillo no conmutativo con divisores de cero. Matriz traspuesta. Caracterización de las matrices simétricas y antisimétricas mediante la matriz traspuesta. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Matrices equivalentes por filas. Matrices elementales. Determinante de una matriz cuadrada. Regla de Sarrus. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Regla de Laplace. Matriz singular. Rango de una matriz. Matriz adjunta de una matriz cuadrada.
Sistemas de ecuaciones lineales. Solución de un sistema. Sistemas compatibles e incompatibles. Sistemas compatibles determinados e indeterminados. Expresión matricial de un sistema. Matriz de los coeficientes y matriz ampliada. Aplicación de la matriz inversa para la resolución de sistemas. Regla de Cramer. Sistemas equivalentes. Ecuaciones dependientes e independientes. Teorema de Rouché-Fröbenius. Método de triangulación de Gauss para el análisis y la resolución de sistemas. Sistemas homogéneos: análisis y resolución. Sistemas homogéneos de de “n” ecuaciones con “n” incógnitas: análisis de su compatibilidad mediante el determinante de la matriz de los coeficientes.
Definición. Propiedades. Teorema de la media o del valor medio del cálculo integral. Relación entre la integral definida y la primitiva. Regla de Barrow. Aplicaciones de la integral definida: área entre curvas en cartesianas, en paramétricas y polares; longitud de arco en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Volumen y área de un sólido de revolución en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Integrales impropias.
Definición. Dominio. Representación gráfica de una función de dos variables. Curvas de nivel. Superficie de nivel. Puntos en Rn. Distancia. Entorno. Entorno Reducido. Intervalos abiertos y cerrados. Conjuntos de puntos interiores, exteriores y frontera. Límite doble. Límites sucesivos o reiterados. Límites a lo largo de una curva. Funciones continuas. Infinitésimos. Derivadas parciales primeras: definición; interpretación geométrica.
Definición, clasificación, orden, grado. Distintos tipos de soluciones. Significado geométrico. Ecuaciones diferenciales a variables separables, homogéneas, reductibles a homogéneas, lineales y de Bernoulli. Trayectorias isogonales y ortogonales.
Casos especiales: 1) y(n) = F(x); 2) Falta la función incógnita; 3) Falta la variable independiente x.
Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n, con coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden n, con coeficientes constantes. Método de los coeficientes indeterminados y de variación de los parámetros. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden 2, con coeficientes variables, conocida una solución particular. Resolución de algunos sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Derivadas, integrales y equivalencias.
Resumen de Fórmulas para Mate B
Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Vectores en R2: definición; elementos, módulo y ángulos directores; operaciones, propiedades, interpretación gráfica. Vectores en R3: definición; elementos, módulo y ángulos directores; operaciones, propiedades, interpretación gráfica. Expresión canónica, versores. Producto escalar en R3; definición, propiedades, aplicaciones. Producto escalar en R3; definición, propiedades, aplicaciones. Producto mixto: definición, propiedades, aplicaciones.
Forma vectorial de la ecuación del plano. Otras maneras de expresar a un plano. Formas de la ecuación de la recta en R3. Intersecciones.
Superficie esférica. Elipsoide, hiperboloide de una y de dos hojas, paraboloides hiperbólico y elíptico: definiciones, secciones planas, representaciones, elementos, ecuaciones. Superficies de revolución. Superficies cilíndricas. Superficies cónicas.
Definición de un espacio vectorial sobre un cuerpo K; propiedades. Subespacios: definición; propiedades. Intersección y suma de subespacios. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistema homogéneo asociado: su interpretación como subespacio. Sistema compatible. Teorema de Rouché - Frobenius (Kronecker - Capelli). Combinaciones lineales de vectores. Dependencia e independencia lineal de subconjuntos de vectores. Conjunto solución de un sistema. Sistemas compatibles y sistemas incompatibles. Resolución aplicando triangulación (Gauss-Jordan). Generadores de un subespacio. Bases y dimensión de subespacios. Coordenadas de un vector respecto de una base.
Transformaciones lineales: definición y propiedades. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Teorema de la dimensión. Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos. Matriz asociada a una transformación lineal. Matriz cambio de base. Semejanza de matrices.
Subespacio invariante respecto de una transformación lineal. Autovalores; autovectores asociados; definiciones. Propiedades. Cálculo. Polinomio característico. Diagonalización de matrices; posibilidad. Propiedades. Teorema de Hamilton-Cayley. Aplicaciones.
Propiedades de la materia. Elementos, compuestos y mezclas. Mol. Procesos físicos: Soluciones, expresiones de la concentración de soluciones. Procesos químicos: clasificación en neutralización, combustión, descomposición, redox. Cálculos estequiométricos.
Estructura atómica. Clasificación periódica de los elementos. Tabla periódica de Mendeléyev. Esquema de la tabla actual. Propiedades periódicas: radios atómicos, potenciales de ionización, electroafinidades.
Enlace químico. Electronegatividad. Uniones químicas interatómicas: Unión iónica. Unión covalente. Disposición espacial molecular. Polaridad. Unión metálica. Energía de enlace. Uniones intermoleculares: puente de hidrógeno, dipolo-dipolo, ión-dipolo, London.
Gases ideales. Propiedades medibles: masa, P, T, V. Leyes de Boyle, Charles, Gay-Lussac. Ecuación de estado de los gases ideales. Ley de Graham. Mezcla de gases: Ley de Dalton. Teoría cinética de los gases ideales. Conceptos básicos de líquidos y sólidos.
Calor y trabajo en procesos físicos. Primer principio. Procesos reversibles e irreversibles. Cambios de estado: calor y entropía. Segundo y tercer principio de la termodinámica.
Termodinámica de las reacciones químicas. Entalpía. Entropía. Energía libre.
Cinética Química: conceptos generales. Velocidades de reacción y equilibrio químico. Constante de equilibrio. Equilibrios homogéneos y heterogéneos. Principio de Le Chatelier.
Equilibrio ácido-base. Teoría de Brönsted. pH. Hidrólisis.
Electroquímica. Transferencia de electrones. Sistemas redox. Potenciales de electrodos. Criterio de espontaneidad de las reacciones de óxido-reducción. Ecuación de Nernst. Tipos de celdas. Electrólisis.
Sistemas de referencia. Partícula. Trayectoria. El vector posición. El vector desplazamiento. Ecuaciones horarias. Gráficas horarias. Trayectoria y gráficas horarias. Vectores velocidad media e instantánea. Vectores aceleración media e instantánea. Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente variado. Movimiento plano. Tiro oblicuo. Movimiento circular uniforme y uniformemente variado. Movimiento relativo.
Masa. Leyes de Newton. Ley de Gravitación Universal. El concepto de Fuerza. Fuerza e interacción. Diagramas de cuerpo aislado. Sistemas de Unidades. Fuerza de roce. Movimientos periódicos. Período y frecuencia. El oscilador armónico simple. Ecuaciones del movimiento armónico simple. Fuerzas elásticas. Péndulo simple. Sistemas no Inerciales.. Fuerzas inerciales y ficticias. Masa inercial y gravitatoria.
Trabajo de una fuerza. Energía Cinética. Teorema del trabajo y la energía. Unidades de energía. Fuerzas conservativas, disipativas y de vínculo. Energía Potencial. Energías potenciales gravitatoria y elástica. Energía mecánica, principio de conservación. Potencia. Unidades.
Impulso y cantidad de movimiento. Principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal. Centro de Masas. Dos cuerpos sometidos a fuerzas centrales. Masa reducida. Concepto físico de Choque. Choque elástico, inelástico, plástico y desintegración. Energía en un sistema de partículas. Coeficiente de restitución. Fuerzas de retropropulsión. Movimiento de un cohete. Teorema de Trabajo y Energía en un sistema de partículas. Cantidad de movimiento angular. Conservación de la cantidad de movimiento angular.
Grados de libertad. Ecuaciones generales de movimiento. Rotación alrededor de un eje fijo. Momento de Inercia. Teorema de Steiner. Rototraslación plana de un CR no vinculado. Rodadura. Eje instantáneo. Momento cinético e impulso angular. Péndulo físico, centro de oscilación, centro de percusión. Energía de un CR en rotrotraslación. Teorema de trabajo y energía para un cuerpo rígido. Ejes principales de inercia. El giróscopo: precesión y nutación.
La teoria de Torricelli. Propiedades de los fluidos. Presión. Viscosidad. Densidad. Estática de fluidos. Teorema fundamental de la hidrostática. Manómetros y Barómetros. Principio de Arquímides. Flotación. Fluidos acelerados. Dinámica de fluidos. Fluido ideal. Flujo estacionario. Caudal. Ecuación de continuidad. Teorema de Bernoulli. Tubos de Pitot y Venturi. Sustentación.